بحث عن مدخل للاحتمالات - بحث علمى عن مدخل للاحتمال شامل بالتنسيق

بحث عن مدخل للاحتمالات - بحث علمى عن مدخل للاحتمال شامل بالتنسيق


يستخدم الكثير من الأشخاص وفي حالات مختلفة كلمة احتمال ولكن بدرجات مختلفة من الثقة، فإذا قال الطالب مثلا أنه سيحضر محاضرة الإحصاء الوصفي هذا الصباح فهذا يعني أنه متأكد من الحضور، أما إذا قال أنه يحتمل الحضور إلى هذه المحاضرة فهذا يعني أنه قد يحضر وقد لا يحضر، وهنا فإنه لا يمكننا معرفة درجة الثقة في الحضور.
من أجل هذا جاءت الحاجة إلى وضع مقاييس رقمية تبين درجة التأكد وتعوض العبارات التي قد لا تعطي المعنى الدقيق، هذه المقاييس يمكن الحصول عليها من علم الاحتمالات.
ما هو الاحتمال وما هي خصائصه؟ هذا ما سنتعرض له بعد التطرق لبعض التعريفات الضرورية.
أولا - التعريف بالمصطلحات
I – التجربة العشوائية: Expérience Aléatoire :
هي التجربة التي يمكن معرفة جميع نتائجها الممكنة ولكن من غير ممكن معرفة ترتيب حدوث هذه النتائج مسبقا، فمثلا عند رمي قطعة نقود فإننا نعرف أن جميع النتائج الممكنة هي ظهور الوجه الذي عليه الصورة أو الوجه الذي عليه كتابة، غير أنه لا يمكن لأحد أن يؤكد قبل رمي قطعة النقود أن ما يظهر هو الصورة أو الكتابة، وعلى أساس ما سبق فإن رمي قطعة النقود تسمى بالتجربة العشوائية، كذلك فإن رمي زهرة نرد تسمى بتجربة عشوائية، لأن جميع نتائجها هي ظهور أحد الأوجه الستة التي تحمل الأرقام 6،5،4،3،2،1 ولا يمكن لأحد أن يعرف قبل رمي زهرة النرد أي الأوجه سيظهر.
II – فضاء (فراغ) المعاينة Espace probabilisable :
فضاء المعاينة هو جميع النتائج الممكنة للتجربة العشوائية. سنرمز لفضاء المعاينة بالرمز (S) فمثلا فضاء المعاينة لرمي قطعة نقود هو
حيث A1= تمثل ظهور الصورة.
A2 = تمثل ظهور الكتابة.
وفضاء المعاينة لرمي زهرة نرد هو
حيث: A1 تمثل ظهور الرقم 1 A2 تمثل ظهور الرقم 2
A3 تمثل ظهور الرقم 3 A4 تمثل ظهور الرقم 4
A5 تمثل ظهور الرقم 1 A6 تمثل ظهور الرقم 6
ففضاء المعاينة هو الفئة الشاملة (المجموعة المكونة من جميع النتائج الممكنة للتجربة العشوائية).
مثال1:
أوجد فضاء المعاينة لرمي قطعة نقود مرتين؟.
الحل:
هناك ثلاث طرق يمكن استخدامها لإيجاد فضاء المعاينة:
1 – طريقة السلسلة البيانية:
إذا رمزنا لظهور الوجه الذي به كتابة بالرمز A1 ولظهور الصورة بالرمز A2 فإن فضاء المعاينة لرمي قطعة نقود مرتين يمكن تمثيله بالسلسة البيانية التالية:










يظهر من الشكل السابق أن فضاء المعاينة (جميع النتائج الممكنة للتجربة العشوائية) رمي قطعة نقود مرتين هي
وعدد عناصر فضاء المعاينة الذي سنرمز له بالرمز n(s) هو 4
2 – طريقة الجداء الديكارتي :

فيكون فضاء المعاينة (نتيجة الضرب) هو

3 – طريقة شبكة التربيع:








ويكون فضاء المعاينة
مثال2:
أوجد فضاء المعاينة وعدد عناصره عند رمي زهرتي نرد متاليتين؟
الحل:
يمكن الحصول على فضاء المعاينة بأي من الطرق السابقة، فلو استخدمنا طريقة شبكة التربيع مثلا فإننا نحصل على الشكل التالي:


6.6 5.6 4.6 3.6 2.6 1.6 6
6.5 5.5 4.5 3.5 2.5 1.5 5
6.4 5.4 4.4 3.4 2.4 1.4 4
6.3 5.3 4.3 3.3 2.3 1.3 3
6.2 5.2 4.2 3.2 2.2 1.2 2
6.1 5.1 4.1 3.1 2.1 1.1 1
6 5 4 3 2 1


ويكون فضاء المعاينة هو:

أما عدد عناصر هذا الفضاء فهو n(S)=36
III – الحادث (الحادثة) Evénement:
الحدث هو فئة جزئية من فضاء المعاينة (الفئة الشاملة)، وتنقسم الحوادث إلى:
- حوادث بسيطة وحودث مركبة.
- حوادث مستحيلة وحوادث مؤكدة.
- حوادث مستقلة وحوادث متنافية.
1- الحادث البسيط والحادث المركب:
عند رمي قطعة نقود وكان A يمثل ظهور الصورة فإن
نقول أن A هو فئة جزئية تحتوي على عنصر واحد من فضاء المعاينة
كذلك عند رمي زهرة نرد وكان الحدث B يمثل ظهور رقم زوجي فإن :
نقول كذلك أن B هو فئة جزئية تحتوي على ثلاث عناصر من فضاء المعاينة

نسمي الحدثين A و B حدثين بسيطين لأن العناصر الموجودة في كل منهما تعتبر عناصر بسيطة. على خلاف ما سبق فإن الحوادث المركبة هي الحوادث التي تتكون من عناصر مركبة، فمثلا لو رمينا قطعتي نقود في نفس الوقت فإن فضاء المعاينة يكون
نلاحظ أن كل عنصر من فضاء المعاينة (S) هو عنصر مركب يحتوي على نتيجتين نتيجة على القطعة الأولى، وأخرى على القطعة الثانية، فمثلا الحدث فيتكون من عنصر مركب واحد هو (A1,A2) والذي يشير إلى ظهور صورة على القطعة الأولى وكتابة على القطعة الثانية.
مثال3:
في مصنع لإنتاج الطماطم المصبرة، تم فحص ثلاث علب لتحديد مدى صلاحيتها والمطلوب؟.
1) حدد فراغ المعاينة؟.
2) ايجاد الأحداث التالية:
أ) جميع العلب صالحة.
ب) علبة واحدة على الأكثر فاسدة.
ج) جميع العلب فاسدة.

الحل:
1) فراغ المعاينة (جميع النتائج الممكنة) هو

حيث نشير A1 إلى أن العلبة صالحة و
A2 إلى أن العلبة فاسدة.
عدد عناصر فضاء المعاينة n(s)=8
2)
أ) نفترض أن الحدث A يشير إلى أن كل العلب صالحة وعليه فإن
فالحدث A يتكون من عنصر مركب واحد
ب) نفترض أن الحدث B يشير إلى وجود علبة واحدة على الأكثر فاسدة:

فالحدث B يتكون من أربع عناصر مركبة
ج) نفترض أن الحدث C يشير إلى أن جميع الوحدات فاسد
2 - الحادث المستحيل والحادث الأكيد:
الحادث المستحيل أو الذي لا يمكن حدوثه هو الحادث الذي لا يحتوي على عناصر ويرمز له بالرمز Φ. أما إذا الحادث الأكيد فهو الحادث الذي يحتوي على جميع عناصر الفضاء العيني.
3 – الحوادث المستقلة والحوادث المتنافية:
إذا كان لدينا حدثين A وB، بحيث الحدث A لا يمنع ولا يؤثر على وقوع الحدث B ووقوع الحدث B لا يمنع ولا يؤثر على وقوع الحدث A فإننا نقول أن الحدثين A وB حدثين مستقلين، أما إذا كان وقوع الحادث A يمنع وقوع الحادث B أو العكس، فإننا نقول أن الحادثين متنافين (غير متلائمين)، فمثلا عند رمي قطعة نقود فإن ظهور الوجه الذي عليه صورة يمنع ظهور الوجه الذي عليه كتابة، وبالتالي فإن حدت ظهور الصورة وحدت ظهور كتابة يمثلان حدثين متنافيين أي .

4 – الحوادث الشاملة والحوادث المنفصلة:
إذا كان لدينا مجموعة من الحوادث A1, A2, A3, A4 …..An عند إجراء تجربة عشوائية ما، فإنه يقال لهذه الحوادث السابقة أنها حوادث شاملة إذا كان لا بد من حدوث احدهما عند إجراء هذه التجربة. مثال عند إلقاء زهرة النرد فإن الحوادث البسيطة تعتبر حوادث شاملة.
وعندما تكون الحوادث شاملة فإن

أما الحوادث المنفصلة فهي تلك الحوادث التي لا يوجد عناصر مشتركة بينها. فإذا كان
الحدثين A وB منفصلين فإن .
IV – الحادث المكمل:
إذا كان الحدث A ينتمي إلى فضاء المعاينة (S) فإن الحدث المكمل له ويرمز بالرمز يتكون من عناصر فضاء المعاينة (S) غير الموجودة في الحادث A كما يظهر في الشكل التالي: