بحث عن مقاييس النزعة المركزية - بحث علمى عن مقاييس النزعة المركزية

بحث عن مقاييس النزعة المركزية - بحث علمى عن مقاييس النزعة المركزية




عند التمعن في الظواهر التي حولنا والقيم التي تأخذها نلاحظ أن غالبية هذه القيم نقترب من بعضها البعض وتتجمع حول قيمة معينة غير منظورة، فذكاء أو طول أو وزن مجموعة من الأشخاص مثلا وتتجمع حول قيمة معينة متوسطة، والقليل من الأشخاص لهم ذكاء أو طول أو وزن يبتعد كثيرا عن هذه القيمة من ناحية الصغر أو الكبر. سميت هذه الظاهرة بظاهرة النزعة المركزية والتي لها عدد من المتوسطات للتعبير عنها تختلف باختلاف الغرض الذي تستخدم فيه، وطبيعة البيانات المحسوبة منها، أهم هذه المتوسطات: المتوسط الحسابي، المتوسط الهندسي، المتوسط التوافقي، الوسيط، المنوال والتي سنتطرق لها في الصفحات القادمة.
وميزة هذه المتوسطات كقيم عددية وحيدة توفر لنا فكرة عامة عن البيانات، وتصف الظاهرة المدروسة مثل الجداول الإحصائية، إلا أنها أكثر اختصارا وأكثر فائدة، حيث تمكننا من المقارنة بين مجموعة من القيم ومجموعة أخرى، أو بين ظاهرة وأخرى.
أولا – المتوسط الحسابي Moyenne arithmétique
يعتبر المتوسط الحسابي من أسهل وأكثر متوسطات النزعة المركزية استخداما في الإحصاء، هو عبارة عن مجموع القيم مقسوما على عددها.
فإذا كانت لدينا القيم x1,x2,x3,………xn فإن متوسطها الحسابي يساوي

حيث: = المتوسط الحسابي
= تمثل قيم الظاهرة
n = تمثل عدد البيانات
مثال1:
إذا كانت الدرجات التي تحصل عليها الطالب في خمس مواد هي: 8، 10، 13، 14، 15.
أحسب متوسط درجات هذا الطالب؟.

الحل:
المتوسط =

المتوسط الحسابي في حالة بيانات مكررة
إذا كانت لدينا القيم x1,x2,x3,……………. x4
ولها تكرارات n1,n2,n3,……………. n4
فإن المتوسط الحساب لها يعطي بالعلاقة

أي أن المتوسط الحسابي لبيانات متكررة يساوي مجموع حاصل ضرب كل قيمة في تكرارها على مجموع التكرارات
وحيث: = تمثل قيم الظاهرة.
ni = تكرار مل قيمة.
ni = مجموع التكرارات.
مثال2:
في امتحان فجائي في مادة الإحصاء الوصفي تحصل طلبة فوج معين على الدرجات المبينة في الجدول التالي:
الدرجة 3 4 5 6 8 9
عدد الطلبة 4 3 6 5 4 2
المطلوب: حساب متوسط الدرجات التي تحصل عليها طلبة هذا الفوج؟.

الحل:
لحساب هذا المتوسط فإننا نقوم أولا بضرب كل قيمة في تكرارها ثم نطبق العلاقة التي تحسب المتوسط الحسابي لبيانات متكررة، وسنقوم بذلك من خلال الجدول التالي:

الدرجة xi عدد الطلبة ni ni xi
3
4
5
6
8
9 4
3
6
5
4
2 12
12
30
30
32
18
المجموع 24 134

أي أن متوسط درجات طلبة هذا الفوج الحسابي في الامتحان الفجائي يساوي 5.58.
المتوسط الحسابي في حالة توزيع تكراري:
تعتمد طريقة حساب المتوسط الحسابي لبيانات مبوبة على مراكز الفئات التي يفترق أنها تمثل الفئات التي أخذت منها، ويكون المتوسط الحسابي في هذه الحالة يساوي إلى مجموع حاصل ضرب مراكز الفئات في تكرارها على مجموع التكرارات

حيث: xi = تمثل مراكز الفئات.
ni = تكرار الفئات.
ni = مجموع التكرارات.

مثال3:
في دراسة إحصائية حول مادة الحليب بالمزارع الموجودة على مستوى ولاية سوق أهراس توصلنا إلى إعداد الجدول التالي:
الإنتاج باللترات 200-240 240-280 280-320 320-360
عدد المزارع 5 6 8 4
المطلوب: إيجاد متوسط إنتاج الحليب بهذه المزارع
الحل:
الإنتاج باللترات عدد المزارع ni مراكز الفئات xi ni xi
200-240
240-280
280-320
320-360
360-400 5
6
8
4
2 220
260
300
240
380 1100
1560
2400
1360
760
المجموع 25 7180


أي أن متوسط إنتاج الحليب بهذه المزارع هو أكثر بقليل من 287 لتر للمزرعة.
حساب المتوسط الحسابي بالطريقة المختصرة:
عندما تكون البيانات الموجودة في الجداول المعطاة كبيرة القيم فإن استخدام الطريقة السابقة يصبح صعب، كما يزداد احتمال الوقوع في الأخطاء بذلك فإنه في مثل هذه الحالات يفضل استخدام طرقة مختصرة الهدف منها تبسيط العمليات الحسابية الطويلة حتى يسهل التعامل معها.
فإذا قمنا مثلا بطريقة قيمة ثابتة (a) من جميع القيم (جميع مراكز الفئات) فإن المتوسط الحساب يصبح


إذا كانت البيانات مفردة أو إذا كانت البيانات مبوبة في جداول توزيع التكراري


مثال4:
أحسب متوسط إن تاج مادة الحليب في المثال السابق بإتباع الطريقة المختصرة؟
الحل:
نختار وسط فرضي a=300 وهو مركز الفئة الوسطى ونتبع الخطوات التالية:
- توجد قيم جديدة yi = والتي تساوي مراكز الفئات ناقص الوسط الفرض.
- نضرب هذه القيم الجديدة في تكرار الفئات ni.
- نحسب وهو المتوسط الحسابي لهذه القيم الجديدة.
- نحسب المتوسط الحسابي للقيم الجديدة والذي يساوي
الإنتاج باللترات عدد المزارع ni xi yi ni xi
200-240
240-280
280-320
320-360
360-400 5
6
8
4
2 220
260
300
240
380 80-
40-
0
40
80 400-
240-
0
160
160
المجموع 25 320-




287.2 لتر=12.8 - 300=

المتوسط الحسابي المرجح (الموزون) Moyenne Arithmétique pondérée
في بعض الأحيان فإن القيم المراد حساب المتوسط الحسابي لها لا تكون لها نفس الأهمية بل أهميات نسبية مختلفة تختلف باختلاف عامل الترجيح الخاص بها. في مثل هذه الحالات فإن المتوسط الحسابي البسيط يمكن الاعتماد عليه في إيجاد المتوسط الصحيح والمنطقي، بل يتطلب الأمر استخدام صيغة أخرى تسمى بصيغة المتوسط الحسابي المرجح:

حيث: xi = تمثل القيم.
ni = تمثل المعاملات.
ويستخدم المتوسط الحسابي المرجع كذلك لإيجاد المتوسط الحسابي لمجموع البيانات أو أكثر في حالة دمجهم معا في مجموعة واحدة وبالتالي فإن متوسط الحسابي المرجح لمجموعتين من البيانات y,z يساوي:


وبما أن

فإن
مثال5:
الجدول التالي يبين عدد العمال ومتوسط الأجر للعامل الواحد في الواحدات المختلفة التي تشكل الشركة الوطنية لإنتاج الأنابيب البلاستيكية. المطلوب حساب متوسط الأجور التي توزعها هذه الشركة؟.
الفرع وحدة الشمال وحدة الشرق وحدة الجنوب
عدد العمال 130 110 80
متوسط الأجور 13000 14500 18500
الحل:
إذا اعتبرنا أن متوسط الأجر في شركة هو عبارة عن مجموع متوسط الأجر في الوحدات الثلاث مقسوما على ثلاثة فإن الإجابة تكون خاطئة فالإجابة الصحيحة هي تلك التي يمكن الحصول عليها من خلال علاقة المتوسط الحسابي المرجح.


خواص المتوسط الحسابي:
1 – يعتبر المتوسط الحسابي أبسط مقاييس المركزية حسابا وأكثرها استخداما.
2 – يأخذ المتوسط الحسابي بعين الاعتبار جميع قيم الظاهرة المدروسة.
3 – مجموع انحرافات القيم عن متوسطها الحسابي يساوي صفر =
وللتأكد من ذلك نقوم بتفكيك الطرف الأيمن:

(لأن : )
نضرب الحد الأول في n ونقسمه على n

4 – يتأثر المتوسط الحسابي بالقيم المتطرفة أو الشاذة.

مثال6:
إذا تحصل طالب على الدرجات التالية في خمس مواد: 20.9.8.7.6
فإن المتوسط درجاته =
أي أن الطالب ناجح، وفي الواقع فإن الطالب ناجح في مادة واحدة وراسب في أربع مواد، وظهور الطالب ناجح رغم رسوبه في أغلب المواد، راجع إلى أن المتوسط الحسابي قد تأثر بالنتيجة الأخيرة والتي تعتبر متطرفة في الكبر.
5 – لا يمكن إيجاد المتوسط الحسابي من الجداول التكرارية المفتوحة من البداية أو النهاية.
ثانيا: المتوسط الهندسي: Moyenne géométrique
في الحالات التي تكون فيها قيم الظاهرة المدروسة عبارة عن نسب أو معدلات، أي في الحالات التي نرغب فيها بدراسة معدل تغيرات ظاهرة ما فإن المتوسط الحسابي لن يصف هذه الظاهرة الوصف السليم، ولن يعطي أي فكرة صحيحة عن مثل هذه الظاهرة ولهذا دعت الضرورة إلى إيجاد متوسط آخر يصلح لوصف مثل هذه الظواهر سمي هذا المتوسط بالمتوسط الهندسي.
والمتوسط الهندسي واسع الاستخدام في الحياة الاقتصادية (كما سنرى لاحقا) لأن التركيز يكون غالبا منصبا على إيجاد متوسط نسب التغير لبعض الظواهر مثل: تطور الدخول، زيادة الأجور، والنمو السكاني ... إلخ.
تعريف:
إذا كانت لدينا القيم x1, x2, x3, x4, ……..xn فإن متوسطها الهندسي يساوي الجذر النوني لحاصل ضرب هذه القيم في بعضها البعض.

وإذا كانت هذه القيم متكررة فإن:

حيث N = ni (مجموع التكرارات)
نفس الشيء إذا كانت هذه القيم مبوبة في جداول توزيع تكراري فإن:

حيث xi = مراكز الفئات.
N= ni (مجموع التكرارات).
مثال7:
أوجد المتوسط الهندسي للأعداد: 2، 4، 5، 6.
الحل:
في حالة كون البيانات كبيرة فإنه يفضل استخدام طريقة اللوغاريتم ويكون ذلك كالتالي:
في حالة بيانات مفردة:

وفي حالة البيانات المتكررة أو المبوبة في جداول توزيع تكرار فإن:



حيث: xi تمثل القيمة أو مركز الفئة.
ni تمثل التكرار.
مثال8:
أوجد المتوسط الهندسي للبيانات المبينة في الجدول أدناه باستخدام طريقة اللوغاريتم
القيم 2 4 5 6
التكرار 2 3 2 4

الحل:

ومنه المتوسط الهندسي = 4.24 = G
استخدام المتوسط الهندسي في الحياة الاقتصادي:
لتباين كيفية استخدام المتوسط الهندسي في الحياة الاقتصادية نأخذ المثال التالي:
الجدول التالي يبين تطور إنتاج مؤسسة ما خلال الفترة 2000-2003 .

السنة 2000 2001 2002 2003
الإنتاج 1000 1250 1875 2625
المطلوب :
- إيجاد نسبة زيادة الإنتاج من سنة إلى أخرى؟
- إيجاد متوسط نسبة الزيادة خلال الفترة؟
الحل:
السنة 200 2001 2002 2003
الإنتاج 1000 1250 1875 2625
نسبة الزيادة - 0.25 0.50 0.40

إذا رمزنا لمتوسط نسبة الزيادة خلال الفترة بالرمز (t) و لنسبة الزيادة خلال السنوات الأولى والثانية والثالثة بالرموز (t1)، (t2) و (t3) فإنه حتى يكون (t) ممثلا فعلا لمتوسط نسبة الزيادة خلال الفترة لابد من تحقق الشرط التالي: (1+t) (1+t) (1+t) = (1+t3) (1+t2) (1+t1).
ومنه (1+t3) (1+t2) (1+t1) = 3(1+t).
ونأخذ الجذر التكعيبي لطرفي المعادلة نحصل على

ومنه

وبصفة عامة إذا لدينا نسبة الزيادة لـ (n) فترة متوسط نسبة هذه الزيادة (متوسط النسب) يعطي بالعلاقة:

وبتطبيق هذه العلاقة على بيانات المثال السابق فإن:

t = 0,3795 = سنويا = 37,95%
مثال9:
إذا كان عدد سكان مدينة ما في سنة 1995 يساوي 500000 نسمة وبلغ في سنة 2005، 609497 نسمة أوجد متوسط نسبة زيادة السكان خلال هذه الفترة؟.
الحل:
- نسبة زيادة السكان خلال الفترة = [عدد السكان في سنة 2005- عدد السكان في سنة 1995]/عدد السكان في 1995 = (609497 - 500000)/ 500000 = 21.19%
ومنه يمكن إيجاد متوسط نسبة الزيادة خلال الفترة بتطبيق العلاقة السابقة

خواص المتوسط الهندسي:
من أهم خواص المتوسط الهندسي ما يلي:
1- يدخل في حساب جميع القيم ولكنه أقل تأثر بالقيم المتطرفة من المتوسط الحسابي.
2- لا يمكن حساب من الجداول التكرارية المفتوحة من البداية أو النهاية.
3- لا يمكن حسابه في حالة وجود قيمة سالبة أو معدومة.
4- يستخدم بأكثر واقعية عند وصف الظواهر النسبية.
5- قيمة المتوسط الهندسي لأي ظاهرة أصغر دائما من قيمة المتوسط الحسابي
ثالثا: المتوسط التوافقي: Moyenne Harmonique
المتوسط التوافقي هو من المقاييس الخاصة التي تستخدم لتحديد معدلات السرعة ومتوسط الأسعار، ومتوسط الكثافة السكانية. وكمثال على ذلك نقول أن سائق قطع المسافة الفاصلة بين مدينتين على أربع مراحل متساوية، المسافة المقطوعة في كل منها 100 كم.
فإذا قطع المرحلة الأولى بسرعة 100كم/ساعة والمرحلة الثانية بسرعة 120كم/ساعة والمرحلة الثالثة بسرعة 150كم/ساعة والمرحلة الرابعة بسرعة 80كم/ساعة، أوجد متوسط سرعة هذا السائق على طول المرحلة؟.
الحل:
إذا استخدمنا المتوسط الحسابي لتحديد متوسط السرعة لهذا السائق على طول المسافة فإننا سنجده يساوي: 112.5 كم/ساعة
وهذه النتيجة غير صحيحة ومضللة بدليل أن:
الزمن الذي إستغرقه السائق في المرحلة الأولى = 1 ساعة.
الزمن الذي إستغرقه السائق في المرحلة الثانية = 5/6 ساعة.
الزمن الذي إستغرقه السائق في المرحلة الثالثة = 2/3 ساعة.
الزمن الذي إستغرقه السائق في المرحلة الرابعة = 5/4 ساعة.
ومنه الزمن الذي استغرقه السائق على طول المسافة = ساعة.
فإذا كان متوسط السرعة المتوصل إليه صحيحا فإن هذا السائق سيقطع خلال المدة ساعة المسافة 422 كم (112.5 × ساعة) وهذا غير صحيح لأن المسافة الكلية هي 400 كم فقط.
الآن إذا قسمنا المسافة الكلية على المدة الزمنية الفعلية فإننا سنحصل على متوسط السرعة الصحيح وهو 106.67 كم/ساعة =
وهذا المتوسط كما سنرى لاحقا يمكن إيجاده بالمتوسط التوافقي.
تعريف: المتوسط التوافقي لمجموعة من القيم هو مقلوب المتوسط الحسابي لمقاليب هذه القيم.
فإذا كانت لدينا القيم: x1,x2,x3,x4………..xn.
فإن مقاليب هذه القيم هو
والمتوسط الحسابي لمقاليب هذه القيم هو
ومقلوب المتوسط الحسابي لمقاليب هذه القيم هو المتوسط التوافقي.
وباختصار
أما إذا كانت البيانات متكررة أو مبوبة في جداول توزيع تكراري فإن:
حيث: ni تمثل التكرار.
xi تمثل القيم أو مراكز الفئات.
فإذا طبقنا علاقة المتوسط التوافقي على بيانات المثال السابق فإننا سنجد
متوسط السرعة
106.67 كم/ساعة
فإذا ضربنا هذه السرعة في زمن المرحلة ساعة فإننا نحصل على 400 كم هي المسافة المقطوعة فعلا.
مثال10:
أحسب المتوسطات الثلاث (الحسابي والهندسي والتوافقي) للبيانات التالية: 2، 4، 6، 8.
الحل:
- المتوسط الحسابي
- المتوسط الهندسي
- المتوسط التوافقي
أي أن وهذه العلاقة صحيحة في كل الحالات.
مثال11:
اشترى شخص من نفس السوق الكميات التالية من مادة البطاطس:
4كغ بقيمة 100 دينار ثم 5 كغ بقيمة 100 دينار أيضا ثم 8 كغ بقيمة 120 دينار.
المطلوب: إيجاد متوسط سعر البطاطس المشتراة؟.
الحل:
سعر الكيلو غرام في الحالة الأولى = = 25 دينار.
سعر الكيلو غرام في الحالة الثانية = = 20 دينار.
سعر الكيلو غرام في الحالة الثالثة = = 15 دينار.
و متوسط السعر للبطاطس المشتراة هو:

18,82 DA  18,8235 دينار/كغ
خواص المتوسط التوافقي:
1 – يأخذ بعين الاعتبار جميع القيم وتأثره بالقيم الشاذة أقل من تأثر المتوسط الحسابي.
2 – لا يمكن حسابه في حالة وجود بيانات معدومة.
3 – يعطي نتائج أكثر واقعية في حالة حساب متوسطات الأسعار والسرعة.
4 – قيمته دائما أقل من قيمة المتوسط الهندسي.
مما سبق فإن
مثال12:
أوجد المتوسط الحسابي والمتوسط الهندسي والمتوسط التوافقي للبيانات المبوبة في الجدول الإحصائي التالي ثم قارن بينها؟.

الفئة 1-3 3-5 5-7 7-9 9-11 المجموع
التكرار 2 4 6 4 2 18
الحل:
الفئة التكرار Xi Ni Xi
1-3
3-5
5-7
7-9
9-11 2
4
6
4
2 2
4
6
8
10 4
16
36
32
20
المجموع 18 108

المتوسط الحسابي=
المتوسط الهندسي:

ومنه G= 5,48
المتوسط التوافقي:

ويلاحظ بوضوح:
رابعا: الوسيط Mediane
تبين لنا عند دراستنا للمتوسط الحسابي أن هذا المتوسط يعطي نتيجة صحيحة ومنطقية عندما تكون البيانات التي حسب منها متجانسة ومتقاربة، أما إذا كانت تحتوي على قيم متطرفة في الصغر أو الكبر فإن النتيجة التي يعطيها تكون غير واقعية، في مثل هذه الحالات فقد وجد متوسط آخر سمي بالوسيط الذي هو أكثر واقعية ودلالة وصحة للحصول على فكرة عامة عن حالة البيانات التي بها قيم متطرفة.
تعريف: وكتعريف فإن الوسيط هو القيمة التي تقسم مجموع البيانات إلى قسمين بحيث يكون نصف عدد البيانات أكبر منه ونصف عدد البيانات أصغر منه ويرمز له بالرمز: Me.
مثال13:
أوجد الوسيط للبيانات التالية: 8، 6، 8، 10، 12، 15، 9؟
الحل:
لإيجاد الوسيط نقوم بالتالي:
أ) نرتب البيانات تصاعديا أو تنازليا:
6، 8، 8، 9، 10، 12، 15.
ب) نبحث عن الوسيط لهذه البيانات، وهناك حاليتن:
1- إذا كان عدد البيانات فردي فإن الوسيط هو القيمة التي ترتيبها
2 – إذا كان عدد البيانات زوجي فإن الوسيط هو متوسط القيمتين اللتين ترتيبهما و .
وفي مثالنا فإن عدد البيانات المعطاة هو 7 أي فردي وبالتالي فإن الوسيط هو القيمة التي ترتيبها وهو 9.
ويلاحظ جليا أن عدد البيانات أقل من 9 يساوي عدد البيانات أكبر من 9.
مثال14:
البيانات التالية تمثل الدرجات التي تحصل عليها 10 طلبة في امتحان معين:
16، 17، 17، 15، 14، 16، 15، 13، 4، 3.
المطلوب:أ) إيجاد متوسط درجات هؤلاء الطلبة؟.
ب) إيجاد وسيط الدرجات؟
ج) أيهما أكثر تعبيرا على نتائج الطلبة ولماذا؟.
الحل: أ) متوسط الدرجات =

ب) الوسيط: نرتب أولا هذه البيانات ترتيبا تصاعديا: 3، 4، 13، 14، 15، 15، 16، 17، 17.
بما أن عدد البيانات زوجي فإن الوسيط هو المتوسط الحسابي للقيمتين اللتين ترتيبهما و وهما 15 و15 وبالتالي فإن الوسيط هو =15= Me.
ج) نلاحظ من النتائج المتحصل عليها أن المتوسط الحسابي لم ينصف أغلب ( الطلبة الذين تحصلوا على درجات أكبر بكثير من هذا المتوسط وأنحاز ناحية نتيجة الطالبين اللذين تحصلا على نتائج سيئة، في حين أن وسيط هذه الدرجات (Me = 15) قسم نتائج الطلبة إلى قسمين بحيث نصف عدد الطلبة تحصلوا على درجات أعلى منه ونصف عدد الطلبة تحصلوا على درجة أقل منه وهو هنا أصدق من المتوسط الحسابي:
الوسيط في حالة بيانات متكررة:
الوسيط لبيانات متكررة:
إذا كانت البيانات المراد حساب الوسيط لها متكررة (لها تكرارات) فإن الوسيط يوجد بإتباع الخطوات التالية:
- نحسب التكرار المتجمع الصاعد لقيم الظاهرة.
- نحدد ترتيب الوسيط (حيث N = مجموع التكرارات).
- نبحث عن القيمة التي تكرارها المتجمع الصاعد أكبر من مباشرة وهي القيمة التي تمثل الوسيط.
مثال15:
الجدول التالي يمثل توزيع الطلبة فوج معين حسب الدرجات التي تحصلوا عليها في الفرض الفجائي في مادة الإحصاء. المطلوب إيجاد الوسيط لهذه البيانات؟.
الدرجة 4 5 6 7 8 9 المجموع
عدد الطلبة 2 4 8 6 5 4 29

1) نحسب التكرار المتجمع الصاعد للبيانات المعطاة:
الدرجةXi 4 5 6 7 8 9 المجموع
عدد الطلبة Ni 2 4 8 6 5 4 29
التكرار المتجمع الصاعد 2 6 14 20 25 29
2) نحسب ترتيب الوسيط = = 14.5.
3) القيمة التي تكرارها المتجمع الصاعد أكبر مباشرة من هي 7 وبالتالي فإن الوسيط = 7.
الوسيط لبيانات مبوبة في جداول توزيع تكراري:
لتحديد الوسيط لبيانات مبوبة في جداول توزيع تكراري فإننا نقوم بالتالي:
1) نحسب التكرار المتجمع الصاعد أو النازل.
2) نحدد ترتيب الوسيط وهو عبارة عن نصف مجموع التكرارات .
3) نحدد الفئة الوسيطية أي الفئة التي يقع فيها الوسيط، وهي الفئة التي تقابل التكرار المتجمع الصاعد الذي يساوي ترتيب الوسيط أو أكبر منه مباشرة.
4) نحدد ونحسب الوسيط بتطبيق العلاقة الإحصائية للوسيط.

استنتاج العلاقة التي تحسب الوسيط:
لتبيان كيف تحصلنا على العلاقة التي تحسب الوسيط نأخذ المثال التالي:
مثال16:
يبين التوزيع التكراري التالي توزيع 50 طالب حسب الدرجة المتحصل عليها في امتحان مادة ما.
المطلوب:1) استنتج المعادلة التي تحسب الوسيط؟.
2) أحسب قيمة الوسيط لهذه البيانات؟.

فئة الدرجات 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16 المجموع
عدد الطلبة 2 6 8 10 14 6 4 50
الحل:
أ) نحسب التكرار المتجمع الصاعد لبيانات التوزيع كما هو مبين في الجدول الآتي:.
ب) نحدد ترتيب الوسيط =
ج) نرسم منحنى التكرار المتجمع الصاعد لبيانات التوزيع.


الفئة
التكرار التكرار المتجمع الصاعد
2-4
4-6
6-8
8-10
10-12
12-14
14-16 4
8
10
15
6
4
3 4
12
22
37
43
>47
50
المجموع 50











د) نحدد الفئة الوسيطية أي الفئة التي تكرارها المتجمع يساوي ترتيب الوسيط أو الأكبر منه مباشرة، (أي الفئة التي تكرارها المتجمع الصاعد  25 وهي هنا الفئة [8-10[).
هـ) نحدد التكرار المتجمع الصاعد للفئة الوسيطية والتكرار المتجمع الصاعد للفئة السابقة ونربط بينهما وبين الحد الأدنى والحد الأعلى للفئة الوسيطية على الرسم.
و) من النقطة التي تمثل ترتيب الوسيط نرسم خط مستقيم أفقي يقطع المنحنى في نقطة فاصلتها تساوي الوسيط.
وإذا افترضنا أن منحنى التكرار المتجمع الصاعد هو عبارة عن خط مستقيم عند الفئة [8-10[ فإن الميل يكون ثابتا.
ي) نستخرج علاقة الوسيط كما يلي:
المثلثان ABC و ADE متشابهان، ومنه وحسب نظرية طاليس فإنه

وبالتعويض:
حيث: Me = الوسيط.
L1 = الحد الأدنى للفئة الوسيطية.
N = مجموع التكرارات.
N0 = التكرار المتجمع الصاعد للفئة قبل الفئة الوسيطية.
L2 = الحد الأعلى للفئة الوسيطية.
N1 = التكرار المتجمع الصاعد للفئة الوسطية.


وذلك لأن (L2-L1) = K = طول الفئة و N1 –N0 = ne = تكرار الفئة الوسيطية
2 – نحسب الآن قيمة الوسيط باستخدام العلاقة السابقة

Me = 8,4
خواص الوسيط:
يتصف الوسيط بعدة خصائص أهمها:
1 – لا يتأثر بالقيم المتطرفة وبالتالي فإنه يعتبر أصلح المقاييس عن وجود مثل هذه القيم.
2 – يمكن إيجاد الوسيط من الرسم.
3 – يمكن استخدامه في حالة البيانات النوعية.
4 - يمكن حسابه من الجداول التكرارية المفتوحة.
خامسا - أشباه الوسيط
الوسيط هو القيمة التي تقسم مجموع البيانات إلى قسمين متساويين، بحيث نصف عدد البيانات أقل منه ونصف البيانات أكبر منه، وما دام يمكن تقسيم بيانات أي ظاهرة إلى عدة أقسام متساوية وليس إلى قسمين فقط فإنه يمكن التعامل معه القيم التي تقسم هذه البيانات بنفس طريقة التعامل مع الوسيط.
فإذا تم تقسيم البيانات إلى أربعة أقسام فإن المقياس يسمى بالربيع.
وإذا تم تقسيم البيانات إلى عشرة أقسام فإن المقياس يسمى بالعشير.
أما إذا تم تقسيم البيانات إلى 100 قسم فإن المقياس يسمى بالمئين.
الربيعات Les quartils:
هي القيم التي تقسم مجموع البيانات إلى أربع أجزاء متساوية فمثلا:
الربيع الأول Q1: ويسمى كذلك بالربيع الأدنى وهو القيمة التي تقسم مجموع البيانات إلى قسمين بحيث ربع عدد البيانات أقل منه وثلاثة أرباع البيانات أكبر منه وترتيب الربيع الأول هو ويحسب كالتالي:
الربيع الثالث Q3: ويسمى كذلك الربيع الأعلى وهو القيمة التي تقسم مجموع البيانات إلى قسمين بحيث ثلاثة أرباع عدد البيانات أقل منه وربع عدد البيانات أكبر منه وترتيب الربيع الثالث هو .
ويحسب كالتالي:
وواضح أن الربيع الثاني هو نفسه الوسيط
العشريات Les Diciles:
العشير الأول D1: هو القيمة التي تقسم مجموع عدد البيانات إلى قسمين بحيث عشر عدد البيانات اقل منه وتسعة أعشار عدد البيانات أكبر منه وترتيبه هو ونحسب بالتالي:
المئينات: Les centiles :
إذا قسمت البيانات إلى مائة قسم متساوي فإن نقاط التقسيم هذه تسمى المئينات. فالمئين الأول C1 هو القيمة التي يسبقها 1% من البيانات ويليها 99% من البيانات ويحسب كالتالي:

والمئين العشرين C20 يحسب كالتالي:

مثال17:
أحسب الربيع الأول والعشير الثالث والمئين الستين للبيانات التالية التي توضح درجات 50 طالب في مادة ما؟
الدرجة 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16 المجموع
عدد الطلبة 4 8 10 15 6 4 3 50


الحل:
الدرجة عدد الطلبة التكرار المتجمع الصاعد
2-4
4-6
6-8
8-10
10-12
12-14
14-16 4
8
10
15
6
4
3 4
12
22
37
43
47
50
المجموع 50

سادسا: المنوال Mode
المنوال هو القيمة الأكثر شيوعا أو تكرار في مجموعة القيم؛ والمنوال قد يكون وحيد القيمة كما قد يكون هناك أكثر من منوال لنفس التوزيع، وسنرمز له بالرمز Mo.
مثال18:
الجدول التالي يبين إنتاج مصنع للأحذية من المقاسات المختلفة؟ أوجد المنوال؟
المقاس 40 41 42 43 44 45 46
عدد الأزواج 300 800 500 300 200 100 10
الحل:
المنوال هنا هو المقاس 41.
مثال19:
البيانات التالية تمثل التقديرات التي تحصل عليها 10 طلاب في مادة الرياضيات.
المطلوب: إيجاد المنوال
ممتاز، جيد، جيد جدا، جيد، متوسط،، فوق المتوسط، جيد، ضعيف، جيد جدا، جيد.
الحل:
المنوال هنا هو جيد.
المنوال لبيانات مبوبة في جداول توزيع تكراري:
لإيجاد المنوال من الجداول التوزيع التكراري نبحث عن الفئة المنوالية وهي الفئة التي يقابلها أكبر تكرار. وهناك أكثر من طريقة لحساب المنوال:
أ) يمكن اعتبار مركز الفئة المنوالية كمنوال على وجه التقريب.
ب) يمكن حساب المنوال بالاعتماد على الفرق بين تكرار الفئة المنوالية والفئتين التي قبلها والتي بعدها طريقة بيرسون ويكون ذلك على النحو التالي:
إذا رمزنا للفرق بين تكرار الفئة المنوالية وتكرار الفئة التي قبلها بالرمز (d1) وللفرق بين تكرار الفئة المنوالية التي بعدها بالرمز (d2) ولطول الفئة بالرمز (K) ولحدها الأدنى بالرمز (L1) فنحصل على العلاقة التالية:
*
يمكن كذلك إيجاد المنوال من الرسم، وذلك من خلال رسم المدرج التكراري للفئة المنوالية وللفئتين التي قبلها والتي بعدها. نقوم بعد ذلك بإيصال نهاية المستطيل للفئة المنوالية من الناحية اليسرى بنهاية المستطيل للفئة التي بعدها من الناحية اليسرى. كذلك نهاية المستطيل للفئة المنوالية من الجهة اليمنى بنهاية المستطيل للفئة التي قبلها من الجهة اليمنى.
ومن نقطة التقاطع المستقيمين ننزل عمودا على المحور الأفقي فتكون نقطة تقاطع هذا العمود المحور مع المحور الأفقي هي قيمة المنوال.
مثال20:
الجدول التالي يبين توزيع عمال مؤسسة ما حسب الأجور الموزعة المطلوب:
1) تحديد قيمة المنوال؟
2) قارن بين قيمة المنوال والمتوسط الحسابي والوسيط؟.
الأجور بآلاف الدينارات 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 المجموع
عدد العمال 10 15 20 15 10 5 75
الحل:
الأجر بالآلاف عدد العمال Xi nixi ni

10-15
15-20
20-25
25-30
30-35
35-40 10
15
20
15
10
5 12.5
17.5
22.5
27.5
32.5
37.5 125
262.5
450
412.5
325
187.5 10
25
45
60
70
75
المجموع 75 1762.5

1) الفئة المنوالية هي الفئة [20-25[ وبالتالي فإنه يمكن اعتبار مركز هذه الفئة (22.5) كمنوال تقريبي.
نحدد المنوال الآن بالرسم وذلك من خلال رسم المستطيلات التي تمثل كل من الفئة المنوالية والفئتين التي قبلها والتي بعدها.







- نحسب المنوال من خلال العلاقة المتوصل إليها.

2) لمقارنة بين M1, Me, نحسب كل من المتوسط الحسابي والوسيط

حيث أن الفئة الوسيطية هي نفسها الفئة المنوالية
نلاحظ من النتائج السابق أن
خواص المنوال:
1 – لا يأخذ بعين الاعتبار جميع البيانات المعطاة وبالتالي فهو لا يتأثر بالقيم المتطرفة.
2 – يمكن حسابه بيانيا.
3 – يمكن أن يوجد أكثر من منوال لتوزيع واحد.
4 – يمكن حساب من الجداول الإحصائية المفتوحة.
5 – يعتبر أفضل المتوسطات لوصف الظواهر النوعية.

العلاقة بين المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال:
1 – تنطبق هذه المقاييس على بعضها وتتساوى في حالة التوزيع التكراري المعتدل وعندها يكون شكل منحنى التوزيع على شكل جرس.
2 – عندما يكون التوزيع التكراري المدروس غير متناظر من اليمن، أي عندما تكون البيانات الصغيرة كثيرة (أكثر تكرارا) تكون المقاييس بالشكل التالي : ويكون منحنى التوزيع ملتوي ناحية اليمين.
3 – عندما يكون التوزيع التكراري المدروس غير منتظرا من اليسار، أي عندما تكون البيانات الكبيرة كثيرة فإن المقاييس تكون بالشكل التالي:







وفي كل الحالات فقد حدد كارل بيرسون علاقة تجريبية بين المقاييس الثلاث إذا كان التوزيع قريبا جدا من التناظر وهي
المتوسط الحسابي – المنوال = 3 (المتوسط الحسابي- الوسيط)
وبمقتضى هذه العلاقة يمكن استنتاج أي من المتوسطات بمعلومية المقياسين الآخرين.